??????????????????

?????????????????? Sat Apr 23, 2011 4:05 pm

§Ò thi häc sinh giái lÇn 13
C

u 1a) : + + =8
xÐt x<1: <3
<3
<2
: + + <8
xÐt x>1: >3
>3
>2
: + + >8
xÐt x=1: =3
=3
=2
: + + =8
VËy x=1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
b) + =x2-6x+11

(¸p dông BDT C«-si)
+ 2(1)

½ng thøc x¶y ra khi:
x=3
Ta cã :x2-6x+11=x2-6x+9+2=(x-3)2+2 2

¼ng thøc x¶y ra khi x-3=0 x=3
x=3 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh
C

u 2)

Æt
Ta

îc:

(2) 36b4-5b2-2b=0
b(36b3-5b-2)=0
b(18b2+9b+2)(2b-1)=0

b)

Æt
Ta

îc:3a2+mb2-2ab=0(2)
(1) cã nghiÖm (2) cã nghiÖm a,b 0

C

u 3)

Ta cã:
=2R=IA
MN=IA.sinA=IA
= =
t¬ng tù ta cã:

=
=
+ + = + + =1(dpcm)
C

u 4)

S1=(ha-2r)MN
S=ha.a
= = =
t¬ng tù ta cã:
=
=
+ + = + +
=
(¸p dung bÊt

½ng thøc C«-si )

¼ng thøc x¶y ra khi :a=b=c
C

u 5a)
P= + + = (¸p dông svac)

= (¸p dông C«-si)

½ng thøc x•y ra khi:a=b=c
b)ta cã:
x2+y2+z2=xyz + + =1
+
+
+
+
+ + + + + + + =1+ +1=2

P

½ng thøc x¶y ra khi:x=y=z

§Ò thi häc sinh giái lÇn 14
C

u 1.a)
+ =
TH1:
xÐt x=0.kh«ng ph¶I lµ nghiÖm.
xÐt x≠0
chia 2 vÕ cho ta cã :
+ =3

Æt =a(a 0)
=b(b 0)
(1)
(1) 81-4ab[(a+b)2-2ab]-6a2b2=17
81-4ab(9-2ab)-6a2b2=17
81-36ab+8a2b2-6a2b2=17
2a2b2-36ab+64=0
a2b2-18ab+32=0

TH1:ab=8(loai)
TH2:ab=2
hoÆc
• a=1 =1
• 8- =1
• = 7
• x=
*b=1 =1
9+ =1
=-8
x= (lo¹i do x 0)
Vëy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ Mad

=
C

u 1b)

(1)-(2) (x-y)(x+y)=(y-x)(y2+xy+x2)-4(y-x)(x+y)+8(y-x)
(x-y)(x+y+x2+xy+y2-4x-4y+ Cool

=0
(x-y)(x2+xy+y2-3x-3y+ Cool

=0

(3) (x+y)2+ x2-2x+2+ y2-2y+2-(x+y)+ + =0
(x+y-1)2+ (x-2)2+ (y-2)2+ =0
Pt v« nghiÖm
*thay (3) vµo (1)ta cã:
x2=x3-4x2+8x
x3-5x2+8x=0

x=0
VËy nghiÖm cña pt lµ x=y=0
C

u 2)
f(x)=ax2+bx+c
f(0)=c=A
f(1)=a+b+c=B
f(-1)=a-b+c=C

g(x) =Cx2+Bx+A=Ax2+ +
=A(x2-1)+ (x+1) -- (x-1)
+ +
+ +
=1-x2+ (x+1)+ (x-1)=2-x2 2
C

u 3)
x2+m=4 (1)
x2+1-4 +m-1 =0

Æt =t(t 1)
Ta cã:
t2 -4t=m-1=0(2)
pt1 cã 4 nghiÖm pt2 cã 2 nghiÖm ph

n biÖt 1

Vëy pt (1) cã 4 nghiÖm ph

n biÖt khi 4 m 5
C

u4)
+ + =
+ + =
Ta t×m

iÓm D sao cho + =
=
D € AB DA= DB
CD lµ

êng ph

n gi¸c gãc C
+ =(a+b)
(a+b) + =
=
I € CD: = =
I lµ t

m

êng trßn néi tiÕp
VËy + + =
dpcm

b)theo c

u 3

Ò 13 ta cã
+ + =abc
Tõ c

u trªn ta cã:
aIA+bIB+cIC=0
ta cã:
aMA2+bMB2+cMC2
=a( + )2+b( + )2+c( + )2=(a+b+c)MI2+ + +
=(a+b+c)MI2+abc
VËy aMA2+bMB2+cMC2=(a+b+c)MI2+abc
aMA2+bMB2-(a+b)MC2=(a+b+c)(MI2-MC2)+abc
Ta cã: aMA2+bMB2-(a+b)MC2=abc
Khi vµ chØ khi:MI2-MC2=0
MI2=MC2
MI=MC
VËy M €

êng trung trùc cña IC
C

u 5)
P= + +
3
Do a,b,c lµ 3 canh tam gi¸c nªn ta cã
c
a
b
(b+c-a)(c+a-b)(b+a-c) abc
P 3

¼ng thøc x¶y ra khi:a=b=c

§Ò thi häc sinh giái lÇn 15
C

u 1a)
(x2-16)(x-3)2+9x2=0
x2(x-3)2+9x2-16(x-3)2=0
x4-6x3+18x2-16(x-3)2=0
x4-6x2(x-3)-16(x-3)2=0
XÐt x=0.kh«ng tho• m•n
xÐt x≠0.chia 2 vÕ cho x4ta cã:
(1)

Æt ta cã:
(1) 1-6t-16t2=0

*
=
8(x-3)=x2
x2-8x+24=0
Pt v« nghiÖm
* =
2(3-x) = x2
x2+2x-6=0

b)

§kx

0:y 0
(1)-(2) =3( -- )
=3( -- )
* xÐt x>y 0 VT <0;VP>0
pt v« nghiÖm
*xÐt y>x 0 VT>0;VP<0
Pt v« nghiÖm
*xÐt x=y lµ nghiÖm cña pt
Thay x=y vµo (1) ta cã
=3
B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã:
9x3=9x2(2x-1)
9x3=18x3-9x2
9x3-9x2=0
9x2(x-1)=0
x=0
x=1
VËy nghiÖm cña pt lµ x=0 hoÆc x=1
C

u 2)
f(x)=ax2+bx+c
f(0)=c=A
f(1)=a+b+c=B
f(-1)=a-b+c=C

f(x)= x2+ x +A
=A(1-x2)+ (x2+x)+ (x2-x)
+ +
1-x2+ + =1-x2+ =1-x2+
= -- x=
C

u 3)
R1=
R2=
R1+R2=MC( +
Do + kh«ng

æi
R1+R2 nhá nhÊt khi MC nhá nhÊt M lµ ch

n

êng vu«ng gãc h¹ tõ C
C

u 4)

S1=(ha-2r)MN
S=ha.a
MN= = = =
vËy dé dµi lín nhÊt cña MN lµ

¼ng thøc x¶y ra khi tam giac ABC

Òu a=b=c
C

u 5)

Æt ta cã
P= + +
= + +

Ta l¹i cã (a+b+c)2 3(ab+bc+ca)
P